17 معادلة رياضية غيرت مسار التاريخ (الجزء الأول)

كتبت: يارا كمال

يا ترى إنت من الناس اللي دخلوا أدبي هربًا من الرياضيات؟ أو من الناس اللي شايفين إنه كان كفاية علينا الجمع والطرح والضرب والقسمة، وما غير ذلك هو كلام فارغ وطلاسم؟ هل إنت من الناس اللي بتتضايق لما بتلم الأجرة في الميكروباص عشان بتحتاس في الحساب؟

أيًا كان موقفنا من الرياضيات، مانقدرش ننكر إن الرياضيات هي اللي بتصيغ قوانين العلوم وخصوصًا الفيزياء، وبتساعدنا نفهم العالم من حوالينا. في 2013، نشر الكاتب العلمي والرياضي ”إيان ستيوارت“ كتاب اسمه ”17 معادلة غيرت العالم“. المدون ومدرس الرياضيات والفيزياء ”لاري فيليبس“ عمل ليستة بالمعادلات دي من الكتاب ونشرها د. بول كوكسون، الفيزيائي في جامعة كامبريدج، على تويتر. خلينا ناخدهم واحدة واحدة كدة بشرح بسيط:

– نظرية فيثاغورس:

نظرية  أساسية في فهمنا لعلم الهندسة، لإنها بتوصف العلاقة بين أضلاع المثلث قائم الزاوية على سطح مستوي: يعني تربيع (اللي هو أُس اتنين يعني الحاجة مضروبة في نفسها) الأضلاع القصيرة (اللي هما a و b) لو جمعناهم مع بعض، يطلع لنا تربيع الضلع التالت الطويل (اللي هو c).

العلاقة دي، في بعض الأحيان، هي اللي بتفرق الهندسة الإقليدية العادية المستوية (اللي بتتعامل مع الأسطح المستوية) عن الهندسة غير الإقليدية المنحنية (اللي بتتعامل مع الأسطح المنحنية). ببساطة أكتر إن نظرية فيثاغورس مش هنستخدمها في دراسة مثلث قائم الزاوية مرسوم على سطح كروي.

في حياتنا اليومية، بنستخدم نظرية فيثاغورس في تحديد اختياراتنا اللي تخص التوفيق بين مساحة  المكان وقطع الأثاث اللي هاحطها فيه، مثلًا، أو بين حجم الشئ اللي عاوز أشتريه واحتياجاتي. يعني انت بتختار الشنطة اللي هتشتريها وفقا لسعتها عشان تناسب احتياجاتك في شغلك، أو مثلًا  لما تختار حجم التليفزيون اللي هتشتريه بالمقارنة بحجم المكان اللي هيكون موجود فيه وهكذا.

اعرف أكتر| بين النظرية والقانون: هو إيه النظرية وإيه القانون أصلًا؟

– اللوغاريتمات:

”أفتي كل الفتوات، وأعرف في اللوغاريتمات، والنسبية والذرّة، إلا عمر الستات“
اللوغاريتم بتاع أساس معين هو اللي بيعرفنا الأساس ده المفروض يبقى أُسْ كام عشان نوصل لرقم معين.
مثال: لوغاريتم 1 بالنسبة لأساس 10 هيبقى 0
log₁₀(1) = 0 لإن 1 = 10⁰
ولو  log₁₀(10) = 1 لإن 10 =  10¹،  ولو log₁₀(100) = 2 لإن 100= 10² وهكذا.

أهي المعادلة اللي في الصورة دي اللي هي: (log(ab)= log(a) + log(b، من أكتر التطبيقات المفيدة للوغاريتمات، لإنها بتحوّل الضرب لجمع. فقبل ما يطلع الكمبيوتر، ويتطوّر كانت دي أكتر الطرق شيوعًا لضرب الأرقام الكبيرة، عشان ننجز الحسابات بسرعة في الفيزياء والفضاء والهندسة.

اللوغرتمات من النظريات اللي بنستخدمها في حياتنا اليومية في حاجات زي درجة الحموضة (الآس الهيدروجيني – pH) للمياه في حمامات السباحة بحيث تكون درجة مناسبة للسباحة وفي نفس الوقت ماتساعدتش الطحالب على النمو.

– حساب التفاضل والتكامل: 

بغض النظر عن ذكرياتك السيئة مع امتحان التفاضل والتكامل، لو كنت علمي رياضة، بس إنت ماتتخيلش المعادلة اللي فوق دي مهمة بالنسبة للعلماء قد إيه. المعادلة اللي فوق دي عبارة عن تعريف للمشتق في حساب التفاضل والتكامل. المشتق ده اللي بيقيس معدّل تغيّر الكمية. يعني مثلًا، لو بنتكلم عن السرعة فدي المشتق بتاع الوضع، يعني لو إنت مشيت 3 ميل في الساعة، معنى كدة إن وضعك اتغيّر بمقدار 3 ميل كل ساعة.

طبعًا العلماء مهتمين جدًا يفهموا إزاي الحاجات بتتغيّر، وبالتالي المشتق والتكامل كمان (اللي هو الأساس التاني لحساب التفاضل والتكامل) دول القاعدة اللي بيفهم بيها العلماء التغيّر.

من الأشياء اللي بنستخدم فيها التفاضل والتكامل كتطبيق هي أجهزة تسمى ”المتحكم التناسبي التكاملي التفاضلي – PID Controller“، وهي الأجهزة التي تعمل على التوازن بشكل أساسي. أجهزة التكييف مثلًا تعمل على التوازن بين حرارة الغرفة ودرجة الحرارة اللي خارجه منها، وهكذا.

اعرف أكتر| 6 معادلات فيزيائية غيرت وجه التاريخ

– قانون الجاذبية: 

عارفين قصة التفاحة بتاعة نيوتن؟ أهو ده القانون اللي فسّر ليه التفاحة وقعت على دماغ عمنا نويتن من الشجرة. قانون الجاذبية بيوصف قوة الجاذبية ما بين جسمين (رَمَز للقوة دي بـ F)، والـ G ده ثابت الجاذبية، وm1 و m2 دول كتلة الجسمين، وd دي المسافة ما بين الجسمين. القانون ده هو اللي عرفنا الجاذبية الأرضية، وعرفنا إزاي الكواكب بتدور حوالين الشمس، باختصار فهمنا الجاذبية في الكون كله بيعتمد عليه.

نظرية الجاذبية بتاعة نيوتن فضلت مستمرة 200 سنة لحد نظرية النسبية العامة بتاعة لـ ”أينشتاين“ ما ظهرت للنور. تقريبًا، قانون الجاذبية دة مهم لكل شيء في حياتنا، من أول وقوفنا _ووقوف الأشياء كلها_ على الأرض بثبات لحد اختراعنا للطائرات والصواريخ.

– الجذر التربيعي لـ (1-):

علماء الرياضيات كل شوية يوسعوا المدى الخاص بإيه هي الأرقام. في الأول، كانت الأرقام الطبيعية، وبعدين طلع لنا الأرقام السالبة، وبعدين الكسور، وبعدين الأرقام الحقيقية، لحد ما وصلنا للجذر التربيعي لـ (1-)، واللي بنرمز له بـ i، وده اللي كمّل عملية الامتداد دي، ووصلنا للأرقام المركّبة اللي بتتكون من أرقام حقيقية + الجذر التربيعي i.

باستخدام الجبر، ممكن أي معادلة تطلّع لنا رقم مركّب. يعني مثلًا معادلة زي دي: x² + 4 = 0، ملهاش حل في الأرقام الحقيقية بس حلها في الأرقام المركّبة: -2√  يعني الجذر التربيعي لسالب اتنين. ممكن الأرقام دي تُستخدم في حساب التفاضل والتكامل، وهيبقى ليها صفات هايلة، الصفات دي اللي بتخلي الأرقام المركّبة ضرورية في مجال الإلكترونيات ومعالجة الإشارات.

الأعداد/الأرقام المركّبة ممكن نستخدمها نفس استخدامات نظرية فيثاغورس. من أشهر استخداماتها مثلًا اختيار مساحة الأرض في رياضة كرة القاعدة (Baseball)، أو المساحة اللي بيوقف فيها اللاعب اللي هيلعب الكرة وبيكون قدامه اللاعب اللي المفروض يضربها.

اعرف أكتر|أشهر 10 نظريات علمية ثبُت خطأها 

– معادلة أويلر للأشكال متعددة الأسطح:

 الأشكال متعددة الأسطح دي هي النسخة ثلاثية الأبعاد للمضلعات (هي الأشكال المستوية اللي بتتكوّن من 3 أضلاع على الأقل زي المثلث، المربع، المستطيل إلخ). الأركان بتاعت الأجسام ثلاثية الأبعاد دي (متعددة الأسطح) بيبقى اسمها رؤوس (vertices)، والخطوط اللي بتربط الرؤوس دي ببعضها اسمها أضلاع أو حواف (Edges)، والشكل المستوي اللي بيغطي الأضلاع المجسّم اسمه وجه (Face)، يعني لو ده مكعب يبقى وجوهه مربعة ولو هرم تبقى وجوهه مثلثة وهكذا.

المكعب مثلًا عنده 8 رؤوس و12 ضلع و6 وجوه. لو جمعنا عدد الرؤوس والوجوه ونقصنا منهم عدد الأضلاع،
هنلاقي إن 8 + 6 – 12 = 2، زي ما المعادلة بتقول. قيس بقى على كل متعددات الأسطح.

الملاحظة بتاعة أويلر واحدة من النماذج الأولية لحاجة اسمها (الثوابت الطوبوجرافية) ، ودي عبارة عن بعض الأرقام أو الخصائص اللي بتشترك فيها فئة من الأشكال اللي فيه تشابه ما بينهم. الملاحظة دي بالإضافة لجهود علمية تانية هي اللي مهّدت الطريق لتطوّر الطوبولوجيا، وده فرع من فروع الرياضيات مهم جدًا في الفيزياء الحديثة.

– التوزيع الطبيعي:

 توزيع الاحتمال الطبيعي ده مهم جدًا وموجود في كل حاجة في الإحصاء، واللي بيعبّر عنه منحنى غاوس اللي على شكل جرس (Bell curve Graph). المنحنى الطبيعي ده بيُستخدم في الفيزياء والأحياء والعلوم الإنسانية عشان يصيغ الخصائص المختلفة.

تطبيق ”التوزيع الطبيعي“ عمومًا بيكون في الإحصاء والحصر، تحديدًا في الاحتمالات. يعني مثلًا، احتمالية أنه يكون متوسط طول الناس في الدول الأسيوية (اليابان – كوريا) أقل من متوسط طول الناس في الدول الأفريقية (أنجولا – زامبيا) وهكذا.

– معادلة الموجة: 

 دي معادلة تفاضلية، أو ببساطة أكتر هي معادلة بتوصف التغيّر اللي بيحصل في صفة معينة عبر الزمن من خلال المشتق بتاع الصفة دي (اللي كنا اتكلمنا عليه في حساب التفاضل والتكامل). معادلة الموجة دي بتوصف سلوك الموجات زي وتر الجيتار اللي بيتهز، أوالتموجات اللي بتحصل في بركة لما ترمي فيها حجر، أو الضوء وهو طالع من لمبة. المعادلة دي من المعادلات التفاضلية الأولى، والتقنيات اللي اُستخدمت في حلها ساعدت في حل معادلات تفاضلية تانية بعد كده.

زي ما هو واضح، بنستخدم المعادلة دي لقياس حركة الموجات، ولو قولنا تحديدًا الموجات الصوتية، فإحنا بنستخدمها في تطبيقات زي السونار مثلًا اللي بيُستخدم في الكشف عن الآثار، أوالأجسام اللي بتكون بداخل شيء مُغلق (زي الكشف عن الجنين في بطن الأم).

وده أول جزء من المعادلات، استنونا في الجزء التاني.

---

المصادر:  Business Insider   Equations – Business Insider  Topologicalproperty Centrallimittheorem